拉格朗日量（Lagrangians，简称为拉氏量）是一种物理表达式，它包含了一个化学系统中几乎所有我们关注的信息。拉氏量一般具有对称性函数可微的充要条件，这意味着当我们以某种特定形式转动或联通它们时，它们并不会发生改变。对称性和拉氏量十分重要，由于我们可以借助它们构造守恒量。
守恒量是在整个数学系统演变过程中保持不变的可观测化学量。
化学学家喜欢寻觅守恒量，由于它们除了具有深刻的哲学意义，还在解多项式过程中十分有用。当你晓得有些量保持不变时，用它们可以简化多项式的求解。
旋转这样“平滑”的对称性是连续对称性。诺特定律表明，对于每一个连续对称性，我们都可以构造一个守恒量。诸如，假若一个系统具有旋转对称性，我们就可以得到角动量守恒。
更令人震惊的是，诺特定律可以证明能量守恒是时间平移对称性的结果，时间平移不变性意味着拉氏量本身不显含时间。
换句话说，假如化学系统所处的背景不随时间改变，这么该系统的总能量将不随时间改变。
ByKonradJacobs,Erlangen—CCBY-SA2.0de
对称性的概念在热学、经典和现代数学学中随处可见。比如，在量子化学学中，量子热学系统的对称性可以与量子角动量守恒对应。在电子理论中，电子的电荷和载流子守恒始于电子所遵守的对称性。
用物理怎么详尽描述对称性起的作用？首先，须要解释最小作药量原理，以及倘若我们晓得了拉氏量，我们怎么用它来估算场的行为。
作药量和拉氏量
假定有一个粒子或场，在两个预先确定的时间点t1和t2之间演变。假如它是一个粒子，我们可以通过勾画一条在空间中延展的路径来勾勒粒子的演进过程，从时间t1开始，到时间t2结束。假如它是一个场，我们可以想像一个热力图随着时间渐渐演变。
通过这种粒子和场的行为，我们能晓得些哪些？我们如何能够晓得粒子将走哪些路径？在数学学中，我们从一个可以描述化学系统的模型开始，其中典型的一种是拉氏量。拉氏量是一个物理量，它一般写成动能和势能之差函数可微的充要条件，拉氏量在任何时间点都可以给出一个具体的数。我们之所以喜欢用拉氏量是由于它独立于观察者，不随参考系的改变而改变。
观察者是正立的还是倒立的，或则以接近光速的速率联通，那些都不重要。一般，数学量的数值会因座标选择的不同而不同；但是，拉氏量不随坐标的选择而改变，无论对于那个观测者，它的取值都是一样的。和参考系无关的这些性质是十分有用的，由于它让我们可以进行清清楚楚的估算。
为了理解究竟发生了哪些，我们须要构造一个称为作药量（action）的量。诸如，假如已知一个拉氏量，我们可以估算拉氏量在两个时间点之间的积分：
积分意味着将拉氏量在多个时间点上的值进行相减。从t到t之间的总积分被称为作药量。它一般用小写字母S表示。拉氏量上面的竖直曲线∫表示积分。
里面的表达式是作药量的物理定义。拉氏量一般是位置和位置的一阶行列式的函数。埃及字母φ表示粒子在空间中的位置；第二项∂φ是粒子位置的一阶求导，表示粒子位置随时间的变化率。
拉氏量在几何上看上去是怎样样的？我们可以用一些插图来说明，通过这种插图可以了解关于它的通常概念。假如拉氏量只包含自由空间中的动能，对于不同于直线的路径，常常会得到更大的作药量。该图显示了粒子在时间t和t之间采取不同路径对应的作药量大小。正如您所见到的，最复杂的路径作药量最大。作药量最小的路径就是直线路径。
怎么得出化学规律？
在我们眼里，拉氏量是物理对象，我们只把作药量看作是化学的。这有一个哲学上的诱因。结果表明，不同的拉氏量可以形成相同的作药量。所以，在个别情况下，存在两个拉氏量，但只有一个作药量的情况。这意味着我们可以通过两个不同的拉氏量，得出相同的数学定理。
为何会这样？缘由是，当我们对个别被称为“全微分”（totalderivative）的物理表达式进行积分时，积分结果是零。
在下边的公式中，我们有一个作药量，被写成一个特定的拉氏量和一个全微分项。并且，我们可以把积分拆分成两个不同的部份。一旦我们把它分开，我们就消去了全微分项，由于当我们积分时它弄成了零。
这是一件令人激动的事情！这意味着，存在两个不同的拉氏量，在一个不这么严格的限制下，可以觉得它们是“等价”的。我们不须要让它们完全等价才能得出相同的化学现象。假如拉氏量仅在“全微分”项上存在差别，则它们可以被看作是互相等价的。比如，在右图中，函数f、g和h都与全微分项有关，它们三个形成相同的作药量。（我早已用不同的颜色写出了这三个函数来抒发这个观点。）
物理上，我们可以用下边的表达式来抒发拉氏量之间“等价”，虽然它们之间相差一个全微分项。在下边的表达式中，函数f是可微函数。
假如对函数可以使用“变化率”的概念，这么这个函数就是可微的。假如函数值在个别地方发生跳跃、出现尖锐的拐点或没有良定义，这么就有可能不能使用“变化率”的概念，这些情况下，只有许多严格的物理条件被满足时，“变化率”的概念才显得可以接受。所有可微函数的集合为C¹。关于微分和积分等运算是否具有良定义的研究称为物理剖析，是一个令人着迷的研究领域。
欧拉-拉格朗日公式
“最小作药量原理”告诉我们，场或粒子的行为正是使作药量取极小值的行为。所以假如我们晓得这个作药量，我们可以通过一些物理运算，求出使这个作药量取极小值时场的行为。有一个被称为变分法的物理分支，研究的是“函数的变化率”。（译者注：变分法告诉我们，场或粒子的行为可以用欧拉-拉格朗日多项式导入。）
粒子版的欧拉-拉格朗日多项式如下所示。等式右边，我们首先取拉氏量对速率的偏行列式，之后继续对其求时间的行列式。等式左边，我们对拉氏量在空间中进行导数。之后让等式的右边等于左边，就可以得到一个令作药量取最小值的路径。
场论版的欧拉-拉格朗日多项式和粒子版的很相像，等式如下所示：
它可以给上场在时空中的演进形式。
以下为译者注：
守恒量
后面我们介绍可以用对称性导入守恒量，接出来我们将介绍怎样做到这一点。诺特定律告诉我们，每位对称性对应一个守恒量。
假如化学系统具有时间平移不变性，也就是说拉氏量不显含时间，这么可以得到表达式：
方程右边的括弧里就是能量，它随时间的行列式是零恰恰表明它不随时间改变。
假如化学系统具有空间平移不变性，也就是说拉氏量不显含空间座标，这么可以得到表达式：
方程左边括弧内正是动量，它不随时间改变，这就是动量守恒。
