首先是一元函数的连续性：
一元函数假如某一点的左右极限不相等，则该点不连续：
之后是连续与可导的关系：
并且连续不一定可导：
图1
上图的函数是连续的，但因为左右行列式不相等，所以不可导。
再看可导与可微的关系：
从上图可以看出，只要某一点的行列式存在，这一点的微分就存在，所以一元函数的可导性与可微性是一致的。
对于多元函数来说就比较复杂了。
图2
上图是多元函数连续可导可微之间的关系图。图中的可导是指偏行列式存在。
上图有四组互相之间的关系，下边逐一讨论。
第一：函数连续与可导之间的关系。
函数连续的定义：
这组关系早已在《从行列式的意义理解多元函数的偏行列式存在性与连续性为什么无关》一文中详尽讨论过，也就是说，多元函数连续与可导之间相互无关。
关于这个推论得下来的缘由，我们大约可以记住下边两个图就可以了：
图3
因为多元函数趋近某个点的方向任意性，造成某个函数不连续但却在这一点可导。
图4
前面这个图表示这个圆柱的顶点连续，但在yoz的截面却像图1一样没有行列式，说明多元函数连续不一定可导。
第二：函数连续与可微之间的关系。
函数可微的定义：
考察函数连续与可微的关系：
上图的意思很简单，微分表达式表示的就是当xoy平面上两点A,B无限趋近的时侯，与之相对应的曲面上两点的高度变化也趋近于0，而这个推论恰好说明函数连续。
所以可微一定连续。
图5
因为全微分可以表示为
图6
由上式可以看出，微分由偏行列式表示，但函数连续与函数可导无关，所以
函数连续不一定可微。
第三：函数可微与可导之间的关系。
图7
上述证明过程还是说明因为二元函数方向性的存在，造成
函数可导不一定可微。
因为全微分一定可以由偏行列式表示：
假如函数z=f(x,y)在点
所以函数在某点可微一定在这一点有偏行列式，也就是可导。
函数可微一定可导。
第四：函数偏行列式连续与可微之间的关系。
首先，由前述看出，函数可微只能推出函数在该点的偏行列式存在函数可微的充要条件，并不能推出该点的偏行列式连续，所以
函数可微不一定偏行列式连续。
图8
上述证明的过程中用到了偏行列式的连续性，也就是说，假如偏行列式不连续，里面的证明就不创立，所以函数可微的充要条件，函数可微一定要求函数的偏行列式连续。
由此得到：
函数某点的偏行列式连续，则必然可微。
通过以上的证明过程，我们假如要比较牢靠地掌握图2中多元函数连续可导可微与偏行列式连续之间的互相关系，就须要理解并把握图1、图3、图4、图5、图6、图7和图8表示的意思。
综合以上：
1：对于一元函数来说，可导一定连续，但连续不一定可导。而一元函数的可导与可微是统一的。
2：大部份是因为多元函数的方向性，造成了多元函数连续可导可微之间的复杂关系。
