平面几何中，圆是即漂亮又有内涵的美丽图形，值得人们欣赏她研究她。她会给你智慧让你聪明、她有内在逻辑给你思维、她是知识海洋任你想像。现举三例圆中小问题，来说说其中小诀窍：
【例一】（如图）⊙O为△ABC的外接圆，且：AB=AC，连接BO并交AC于点D，若：AD=2，DC=3，求：BC的长和圆的直径
【简解】
（1）连接AO交BC于点E，已知△ABC为等边，易证：AE⊥BC，EB=EC，即AE为BC的中垂线
（2）过点E作EF∥BD交AC于点F，则F为CD中点，∴DF=FC=3/2，由OD∥EF，∴AO/OE=4/3，设：AO=4a=OB，则：OE=3a，∴BE=EC=√7a
（3）在Rt△AEC中，AC=√（EC＋AE），∴a=5√14/28，BC=2BE=2√7a=5√2/2
（4）由OA=4a=5√14/7，∴圆的半经为5√14/7
[亦可：由△OAD∽△ABD得：AD=DO×DB，又有相交弦得：AD×DC=（r＋OD）×（r－OD）求出OD和直径r]
【例二】（如图）AB为⊙O半径，AB=√6，两弦AM与BN交于P，求：（AP×AM）＋（BP×BN）的值是多少？
【简解】
（1）连接AN、BM，则：∠N=90，∠M=90，过点P作PQ⊥AB，垂足Q，∠PQA=∠PQB=90
（2）由A、N、P、Q共圆得BP×BN=BQ×AB，由B、M、P、Q共圆得AP×AM=AQ×AB（割线定理）
（3）上两式相乘得（AP×AM）＋（BP×BN）=AB（BQ＋AQ）=AB=6
[亦可由中线定律与相交弦定理：设求式为Z，圆直径为r，Z=AP＋AP×PM＋BP＋PB×PN=（AP＋BP）＋2AP×PM=2PO＋2r＋2（r＋OP）×（r－OP）=4r=6]
【例三】（如图）己知点O为四边形BCDE外接圆圆心，延长BE、CD交于点A，且：∠A=30，若：BC=4，DE=√3，求圆O的直径。
【简解】
（1）过点D作DF∥AB交⊙O于点F，连BF并延长，则：∠FDC=30=∠FBC，BF=DE=√3
（2）过点C作CG⊥BF，垂足为G，连FC
（3）在Rt△BCG中，∠CBG=30，∴CG=2，BG=2√3，FG=2√3－√3=√3，在Rt△CFG中，FC=√（CG＋FG）=√7
（4）在△CDF中（圆内接）设圆直径为R，则2R=FC/sin∠FDC=√7/sin30=2√7，∴R=√7，即：圆的直径为√7[亦可：连接OF、OC，半径OF=OC，则：∠FOC=2∠FBC=60，∴△FOC为正三角形，∴OF=OC=FC=√7，即圆直径为√7]
以上三例之剖析，“道听度说”供参考。
