高考数学一轮复习学案：直线、平面垂直的判定与性质（含答案）8。5直线直线。。平面垂直的判定与性质平面垂直的判定与性质最新考纲考情考向分析1。以立体几何的定义。公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理。2。能运用公理。定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题。直线。平面垂直的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线垂直。线面垂直。面面垂直的判定及其应用等内容题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想。1直线与平面垂直1定义如果直与平面内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面互相垂直，记作l，直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直a，babOlalbl性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行abab2。直线和平面所成的角1定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0范围0，2。3平面与平面垂二面角的有关概念二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；二面角的平面角在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角2平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直3平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直ll性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直lalal知识拓展重要结论1若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线证明线线垂直的一个重要方法3垂直于同一条直线的两个平面平行4一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l。
2直于同一个平面的两平面平行3直线a，b，则ab。4a。5若直线a平面，直线b，则直线a垂直6若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则。题组二教材改编2P73T1下列命题中错误的是A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面答案D解析对于D，若平面平面，则平面内的直线可能不垂直于平面，即与平面的关系还可以是斜交。平行或在平面内，其他选项均是正确的3P67T2在三棱锥PABC在平面ABC中的射影为点O。1若PAPBPC，则点O是ABC若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的________心答案垂解析1如图1，连接OA，OB，OC，OP，在RtPOA，RtPOB和RtPOC中，PAPCPB，所以OAOBOC，即O为ABC的外心2如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，ABH，D，G。PCPA，PBPC，PAPBP，PC平面PAB，又AB平面PAB，PCAB，ABPO，POPCP，AB平面PGC，又CG平面PGC，ABCG，即CG为ABC边AB上的高同理可证BD，AH别为ABC边AC，BC为ABC的垂心题组三易错自纠4xx湖南六校联考已知m是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下列给出的条件中一定能推出m且mB且mCmn且nDmn且答案C解析由线面垂直的判定定理，可知C正确5。
如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是A与AC，MN均垂直B与AC垂直，与MN不垂直与AC不垂直，与MN垂直D与AC，MN均不垂直答案A解析因为DD1平面ABCD，所以ACDD1，又因为ACBD，DD1BDD，所以AC平面BDD1B1，因为OM平面BDD1B1，所以OMAC。设正方体的棱长为2，则OM123，MN112，ON145，所以OM2MN2ON2，所以OMMN。故选6。如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是AMNABB平面VAC平面VBCCMN与BC所成的角为45DOC平面VAC答案B解析由题意得BCAC，因为VA平面ABC，BC平面ABC，所以VABC。因为ACVAA，所以BC平面VAC。因为BC平面VBC，所以平面VAC平面VBB。题型一直线与平面垂直的判定与性质典例如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明1CDAE；2PD平面ABE。
证明1在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD。又ACCD，PAACA，PA，AC平面PAC，CD平面PAC。而AE平面PAC，CDAE。2由PAABBC，ABC60，可得ACPA。E是PC的中点，AEP知AECD，且PCCDC，PC，CD平面PCD，AE面PCD，而PD平面PCD，AEPD。PA底面ABCD，AB平面ABCD，PAAB。又ABAD，且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD。又ABAEA，AB，AE平面ABE，PD平面ABE。思维升华证明线面垂直的常用方法及关键1证明直线和平面垂直的常用方法判定定理；垂直于平面的传递性ab，ab；面面平行的性质a，a；面面垂直的性质2证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想跟踪训练如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1。设AB1的中点为D，B1CBC1E。求证1DE平面AA1C1C；2BC1AB1。证明1由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1点，因此DEAC。又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE面AA1C1C。
2因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC。因为AC平面ABC，所以ACCC1。又因为ACBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1C，所以AC平面BCC1B1。又因为BC1平面BCC1B1，所以BC1AC。因为BCCC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1B1C。因为AC，B1C平面B1AC，ACB1CC，所以BC1平面B1AC。又因为AB1平面B1AC，所以BC1AB1。题型二平面与平面垂直的判定与性质典例xx开封模拟如图，在四棱 锥PABCD 中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G， 分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点1 求证CE 平面 PAD；2 求证平面EFG 平面EMN。证明1 方法一取PA 的中点 H，连接EH，DH。因为E 为PB 的中点，所以EH 綊12A B。又CD 綊12AB，所以EH D。所以四边形DCEH是平行四边形，所以CEDH。又DH 平面 PAD，CE 平面PAD，所以CE 平面PA D。方法二 连接CF。因为F 为AB 的中点，所以AF12A B。又CD12AB，所以AFC D。又AFCD，所以四边形AFCD 为平行四边形因此CFAD， 又CF 平面PAD，AD 平面PAD，所以CF 平面PA D。
因为E，F 分别为PB，AB 的中点，所以EFP A。又EF平面PAD，PA 平面PAD，所以EF 平面PA D。因为CFEFF，故平面CEF 平面PA D。又CE 平面CEF，所以CE 平面PA D。2 因为E，F 分别为PB，AB 的中点，所以EFP A。又因为ABPA，所以EFAB，同理可证ABFG。又因为 EFFGF，EF，FG 平面EFG，所以AB 平面EFG。又因为M，N 分别为PD，PC 的中点，所以MNCD，又ABCD，所以MNAB， 所以MN 平面EFG。又因为MN 平面EMN，所以平面EFG 平面 EMN。引申探究1 在本例条件下，证明平面EMN 平面PA C。证明因为ABPA，ABAC，且PAACA，PA，AC 平面 PAC，所以AB 平面PA C。又MNCD，CDAB，所以MNAB，所以MN 平面PA C。又MN 平面EMN，所以平面EMN 平面PA C。2 在本例条件下，证明平面EFG 平面PA C。证明因为E，F，G分别为PB，AB，BC 的中点，所以 EFPA，FGAC，又EF 平面PAC，PA 平面 PAC，所以EF 平面 PA C。同理FG 平面PA C。
又EFFGF，所以平面EFG 平面PA C。思维升华1 判定面面垂直的方法面面垂直的定义；面面垂 直的判定定理a，a2 在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行 转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步 转化为线线垂直跟踪训练xx 南昌模拟如图，已知在四棱锥 PABCD 中，底面ABCD 是边长为4 的正方形，PAD 是正三角 形，平面PAD 平面ABCD，E，F，G 分别是PD，PC，BC 求证平面EFG平面PAD；2 棱锥MEFG的体积1 证明因为平面PAD 平面ABCD，平面PAD 平面ABCDAD，CD 平面 ABCD，且CDAD，所以CD 平面PA D。又因为在PCD 分别是PD，PC的中点，所以 EFCD，所以EF 平面PA D。因为EF平面EFG，所以平面EFG 平面PA D。2 解因为EFCD，EF 平面EFG，CD 平面EFG，所以CD 平面EFG，因此CD 到平面EFG的距离等于点D 面EFG的距离，所以V 三棱锥MEFGV 三棱锥DEFG，取AD 中点H，连接GH，EH，FH，则EFGH，因为EF平面PAD， EH 平面PAD，所以EFEH。于是SEFH12EFEH2SEFG，因为平 面EFG 平面PAD，平面EFG 平面PADEH，EHD 是正三角形， 所以点D 到平面EFG 的距离等于正EHD 的高，即为 3。
所以三棱锥MEFG 的体积V 三棱锥MEFGV 三棱锥 DEFG13SEFG3233。题型三 垂直关系中的探索性问题典例如图所示，平面ABCD 平面 BCE，四边形ABCD 为矩形，BCCE，点F 为CE 的中点1 证明 AE 平面BDF；2 为CD上任意一点，在线段AE 上是否存在 点P，使得PMBE 若存在，确定点P 的位置，并加以证明；若不 存在，请说明理由1 证明连接AC 交BD 于点O，连接OF。四边形 ABCD 是矩形，O 为AC 的中点又F 为EC 的中点，OFAE。又OF 平面BDF，AE平面BDF，AE 平面BDF。2 点时，有PMBE，证明如下取BE的中点H，连接DP，PH， CH。P 为AE 的中点，H 的中点，PHAB。又ABCD，PHCD，P，H，C，D 四点共面平面ABCD 面BCE，且平面ABCD平面BCEBC，CDBC，CD 平面 ABCD，CD 平面BCE。又BE 平面BCE，CDBE，BCCE，且H 的中点，CHBE。又CHCDC，且CH，CD平面DPHC，BE 平面DPH C。又PM 平面DPHC，PMBE。思维升华1 对于线面关系中的 存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关 系的相关定理。
性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足 则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设2 对于探索性问题用 向量法比较容易入手一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化 为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解 但不满足题意或无解则不存在跟踪训练如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱AA1 底面ABC，M 为棱AC 的中点 ABBC，AC2，AA1 2。1 求证B1C 平面A1BM；2 求证AC1 平面A1BM；3 BB1上是否存在点N，使得平面AC1N 平面AA1C1C 如果存在， 求此时BNBB1 的值；如果不存在，请说明理由1 证明连接AB1 与A1B，两线交于点O，连接OM。在B1AC 分别为AC，AB1 的中点，OMB1C，又OM 平面A1BM，B1C 平面 A1BM，B1C 平面A1BM。2 证明侧棱AA1 底面ABC，BM 平面 ABC，AA1BM，又M 为棱AC 的中点，ABBC，BMA C。AA1ACA，AA1，AC 平面ACC1A1，BM 平面ACC1A1， BMAC 1。AC2，AM 1。又AA12，在RtACC1 和RtA1AM tanAC1CtanA1MA2，AC1CA1MA，即AC1CC1ACA1MAC1AC90，A1MAC 1。
BMA1MM，BM，A1M平面A1BM，AC1 平面A1BM。3 为BB1的中点，即BNBB112 时，平面AC1N 平面 AA1C1 C。证明如下设AC1 的中点为D，连接DM，DN。D，M 分别为 AC1，AC 的中点，DMCC1，且DM12CC 为BB1的中点，DMBN，且DMBN，四边形BNDM 为平行四边形，BMDN，BM 平面ACC1A1，DN 平面AA1C1 C。又DN 平面AC1N，平面AC1N 平面AA1C1 C。立体几何证明问题中的转化思想典例12 分如图所示，M， 分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1 点求证1AN平面A1MK；2 平面A1B1C 平面A1MK。思想方法指 线面平行。垂直关系的证明问题的指导思想是线线。线面。面面关系的相互转化，交替使用平行。垂直的判定定理和性质定理2 线关系是线面关系。面面关系的基础证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线。平行线分线段成比例； 证明垂直时常用的等腰三角形的中线等3 证明过程一定要严谨， 使用定理时要对照条件，步骤书写要规范规范解答证明1如图所 示，连接NK。在正方体ABCDA1B1C1D1 中，四边形AA1D1D， DD1C1C 都为正方形，AA1DD1，AA1DD1，C1D1CD，C1D1C D。
2 分别为CD，C1D1的中点，DND1K， DND1K，四边形DD1KN 为平行四边形，3 分KNDD1， KNDD1，AA1KN，AA1KN，四边形AA1KN 为平行四边形， ANA1K。4 分又A1K 平面 A1MK，AN 平面A1MK，AN 平面 A1MK。6 如图所示，连接BC1。在正方体ABCDA1B1C1D1 中，ABC1D1，ABC1D 1。M，K 分别为AB，C1D1 的中点，BMC1K，BMC1K，四 边形BC1KM 为平行四边形，MKBC 1。8 分在正方体ABCDA1B1C1D1 中，A1B1 平面BB1C1C， BC1 平面BB1C1C，A1B1BC 1。MKBC1，A1B1MK。四边形BB1C1C 为正方形，BC1B1C， 10 分MKB1 C。A1B1平面A1B1C，B1C 平面A1B1C，A1B1B1CB1， MK 平面A1B1 C。又MK 平面A1MK，平面A1B1C 平面A1MK。12
