不断演进的数学概念函数概念的演变函数概念是数学中最基本的概念之一但它不像算术产生于远古时代函数概念的产生非常晚至今只有三百余年历史函数概念的演变大体上可分为萌芽阶段形成阶段成熟阶段近代阶段和现代阶段等五个阶段在公元十六世纪之前数学上占统治地位的是常量数学其特点是用孤立静止的观点去研究事物具体的函数在数学中比比皆是但没有一般的函数概念十六世纪随着欧洲过渡到新的资本主义生产方式迫切需要天文知识和力学原理当时自然科学研究的中心转向对运动对各种变化过程和变化着的量之间依赖关系的研究数学研究也从常量数学转向了变量数学数学的这个转折主要是由法国数学家笛卡尔完成的他在《几何学》一文中首先引入变量思想称为未知和未定的量同时引入了两个变量之间的相依关系这便是函数概念的萌芽十七世纪在对各种各样运动的研究中人们愈来愈感到需要有一个能准确表关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf示各种量之间关系的数学概念经过深思熟虑人们从笛卡尔的变量思想中得到启示从而引出了函数概念据考证十七世纪中叶微积分的创始人之一德国数学家莱布尼兹最先使用函数function这个名词不过他指的是变数x的幂x2x3等等后来才逐步扩展到多项式函数有理函数幂函数指数函数对数函数三角函数和反三角函数以及由它们的四则运算各种复合所形成的初等函数这些函数都是具体的都有解析表达式并且和曲线紧密联系在一起那时的函数就是表示任何一个随着曲线的点的变动而变化的量至此还没有函数的一般定义十八世纪初贝努利最先摆脱具体的初等函数的束缚给函数一个抽象的不用几何形式的定义一个变量的函数是指由这个变量和常量的任何一种方式构成的一个量欧拉则更明确地说一个变量的函数是该变量和常数以任何一种方式构成的解析表达式函数之间的原则区别在于构成函数的变量与常量的组合方式的不同欧拉最先把函数的概念写进了教科书在贝努利和欧拉看来具有解析表达式是函数概念的关键所在1734年欧拉用记号yfx表示变量x的函数其中的f取自function的第一个字母十八世纪中期由于偏微分方程中的弦振动问题引起了关于函数概念的争论迫使数学家接受一个更广泛的概念1755年欧拉给函数下了一个新的定义如果某些量这样地依赖于另一些量当后者改变时它经常变化那么称前者为后者的函数法国数学家傅立叶的工作更广泛地展现了函数究竟是什么的问题他的工作动摇了十八世纪的信念那种视函数仅为解析式的观点作为揭示函数关系真谛的巨大障碍终于排除了1十九世纪20年代微积分严格理论的奠基者柯西的函数概念可以说是现代函数概念的基础他认识到函数是变量与变量之间的一种关系但不足之处是仍然没有摆脱表达式之说1837年德国数学家狄利克莱在总结柯西和罗巴切夫斯基工作的基础上给出至今最常用的函数定义如果对于给定区间上的每一个x的值都有唯一的一个y值与它对应那么y就是x的一个函数至于在整个区间上y按照一种还是多种规律依赖于x或者y依赖于x是否可用数学运算来表达那都是无关紧要的十八世纪以来随着微积分的发展函数概念不断变化经过二百多年的演变函数概念逐步清晰与稳定引入了映射概念其一般定义为设集合XY如果X中每一个元素x都有Y中唯一确定的元素y与之对应那么我们就把此对应叫做从集合X到集合Y的映射记作fXYyfx→二十世纪初G·H·哈代更明确指出函数的本质属性在于y和x之间存在某种关系使得y的值总是对应着某些x的值随后O·维布伦用集合定义了变量与函数变量是代表某个集合中任一元素的记号变量y的集合与另一个变量x的集合之间如果存在着对于x的每一个值y有确定的值与之对应那么y叫做x的函数这个定义比此前的定义更合理更确切这是一个比较完整的函数概念1939年N·布尔巴基用集合之间的映射定义了函数设E和F是两个集合E中的每一个变元x和F中的每一个变元y之间的一个关系f称为函数如果对每一个x∈E都存在唯一的y∈F它们满足给定的关系记作fEF或者记作EF→⎯→⎯f在布尔巴基的定义中E和F不一定是数的集合他强调函数是集合之间的一个映射因此他所定义的函数更加广泛现在常用的函数概念也是中学数学中的函数概念把变量局限于实数范围设x表示某数集D中的变元对D中每一个x按一定的法则有唯一的实数y与之对应则称y是x的函数记作yfx称x为自变量D叫做函数的定义域f表示对应法则y的取值范围叫做函数的值域二十世纪以来函数概念不断扩充函数不仅是变数还可以是其它变化着的事物还出现了所谓广义函数以及函数的函数等等但大体上可被布尔巴基的函数概念覆盖以研究函数为已任的分析学成为数学的三大基本分支之一形成几何代数分析三足鼎立的局面在分析学中函数论占有重要地位它又划分为实函数论与复函数论两大部分2分工越来越细我国最早使用函数一词是清朝数学家李善兰1859年李善兰在上海与英国人伟烈亚力合作译英国数学著作《代数学》时译道凡式含天为天之函数首次将function译成函数中国古代以天地人物表示未知数函字即含有包含之意函数概念的演变过程就是一个函数内涵在不断地被挖掘丰富和精确刻划的历史过程同时看出数学概念并非生来就有一成不变而是人们在对客观世界深入了解过程中得到并不断加以发展的从而以适应新的需要附录一李善兰简介李善兰1811年～1882年浙江海宁县人清代数学家李善兰才智出众数学功底很深早年有《方圆阐幽》《弧矢启秘》晚年有《垛积比类》等很多著作并有以他的名字命名的李善兰恒等式传世1856年与来华英国人伟烈亚力合译出版了《几何原本》后九卷之后又翻译并于1859年出版了《代数学》《代微积拾级》即《解析几何与微积分初步》等书今天代数学与微积分学的很多中文的名词术语是他和他那一代译者引入和首先使用的二布尔巴基学派简介第一次世界大战中法国年青的科学家们几乎都上了前线战后数学界出现了青黄不接后继乏人的局面法国数学落后了在这样的历史条件下一批年轻人组成了小组以布尔巴基为名进行活动所出论文或书籍作者均系布尔巴基布尔巴基为十九世纪法国的一位将军这些年轻人敢于从比较低的起点出发向世界先进水平瞄准他们大量阅读研讨最新发表的论文分析数学发展中大量新概念每年聚会多次热烈争呜严谨治学他们还走出国界直接倾听国外优秀数学家的讲学和介绍在深入研究现代数学的基础上形成了自己独特的观点数学结构的观点用以统一概括现代纯粹数学的新成果在不长的时间里他们把法国的数学水平推进到世界的前列同时还造就一大批在数学各领域作出重要贡献的数学家布尔巴基学派把数学看成关于结构的科学认为整个数学学科的宏伟大厦可以建立在丝毫不求助于直观的彻底公理化基础上他们从集合论出发对全部数学分支给以完备的公理化在他们的工作中结构的观点处于数学的中心地位3布尔巴基学派认为最普遍最基本的数学结构有三类这就是代数结构顺序结构拓扑结构这三种基本结构就象神经网络渗透到各种理论贯穿全部数学整个数学大厦就是由各类数学结构所构成门类万千的数学分支统一于结构之中布尔巴基学派写出的多达四十卷的《数学原理》是对现代数学影响巨大的重要数学著作4
