文章编号1671-1742200901-0087-04关于非齐次马氏链的强极限定理刘杰纪灵军梁佩佩江苏大学理学院江苏镇江212013摘要主要研究了非齐次马氏链的强极限定理首先应用鞅差序列收敛定理给出了关于非齐次马氏链的任意k元函数一类平均值的极限定理最后得到一系列相关状态序偶出现频率的推论关键词鞅差序列非齐次马氏链强极限定理中图分类号O2116文献标识码A收稿日期2008-07-101引言马尔可夫过程是一种十分重要的随机过程为信息科学管理科学以及金融决策提供了有利的数学工具马尔可夫的极限理论是马尔可夫过程研究的最基本领域之一有关齐次马氏链的极限定理已取得了相当完备的研究结果[1]近几十年来人们对非齐次马氏链的极限定理和遍历性展开了大量的研究如刘文杨卫国等人对强大数定律进行了深入的研究[2]Isaacson和Huang等对遍历性的研究[3]多重马尔可夫链概念是一般马尔可夫链概念的自然推广随着马尔可夫链理论的不断发展和应用人们对多重马尔可夫链的理论研究和应用越来越感兴趣信息论中的多重马氏信源是一种很重要的信源如实际生活中的语声图像电视信号等等都是二重及多重马氏信源再如文献[4]利用二重马氏链的数学模型来研究地震的迁移规律利用鞅论中有关结果进一步研究非齐次马氏链希望这些结果能够为进一步研究非齐次马氏链的有关性质提供一些相关的理论背景文中涉及到的问题都在固定的完备概率空间8FP上进行讨论FnnE1是F的自然R域流即FnRX0X1Xn其中XnnE0为一随机变量序列约定F058定义1[5]设XnnE0是在状态空间S12N中取值的随机变量序列如果对任意整数nE1及PxiIS0FiFn当PX0x0X1x1Xn-1xn-10时总有PXnxnX0x0X1x1Xn-1xn-1PXnxnXn-1xn-11成立则称XnnE0为马氏链若条件1与n无关则称XnnE0为齐次马氏链反之称XnnE0为非齐次马氏链记qi0PX0i0pnjiPXnjXn-1i称qi0为初始分布pnji为转移概率称Pnpnji2为转移矩阵这时易知其联合分布PX0x0X1x1Xnxnqx07nk1pkxkxk-13记XnmXmXm1XnXnX0X1Xniki1ik2主要结果定理1设XnnE0是具有分布3的非齐次马氏链fnx1xknE1是定义在Sk上的k元函数列annE1是一列单调递增趋于无穷大的数列如果E]n1a-2nE[fnXnk-2n-1]2]4则有第24卷第1期2009年2月成都信息工程学院学报JOURNALOFCHENGDUUNIVERSITYOFINFORMATIONTECHNOLOGYVol24No1Feb2009limna-1nEnt1ftXtk-2t-1-E[ftXtk-2t-1Xt-1]05证令YtftXtk-2t-1-E[ftXtk-2t-1Xt-1]tE16易知YttE1是一鞅差序列由条件期望的Jensen不等式有EE[ftXtk-2t-1Xt-1]2FEE[f2tXtk-2t-1Xt-1]E[ftXtk-2t-1]27由4式和7式知E]n1a-2nEE[fnXnk-2n-1Xn-1]2FE]n1a-2nE[fnXnk-2n-1]2]8于是由4式6式和8式有E]n1a-2nEY2n]9由9式及鞅差序列收敛定理[6]有limn1anEnt1Yt0ae10由6式和10式可得5式成立从而命题得证定义Dix为S上的kroneck函数即Dix1ix0iXx11令Sni表关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf示状态i在序列X0X1Xn-1中出现的次数即SniEn-1t0DiXt12同理令Sni1i2ik表示状态序偶i1i2ik在序列Xk-1Xk1Xn-1n-k中出现的次数即Sni1i2ikEntkDi1Xt-kDi2Xt-k1DikXt-113推论1设XnnE0是一具有分布3的非齐次马氏链Sni1ikSnik如13式定义则当k1时有limnSnikn-1nEnt1Di1Xt-1PXti2Xtk-2iki10ae14证令ftx1xkDi1x1DikxktE1及ann则有1nEnt1ftXtk-2t-1-E[ftXtk-2t-1Xt-1]1nEnt1ftXtk-2t-1-Ej1jk-1ISftXt-1j1jk-1PXtj1Xtk-2jk-1Xt-11nEnt1Di1Xt-1DikXtk-2-1nEnt1Ej1jk-1ISDi1Xt-1Di2j1Dikjk-1PXtj1Xtk-2jk-1Xt-11nEn-k1t1Di1Xt-1DikXtk-21nEntn-k2Di1Xt-1DikXtk-2-1nEnt1Di1Xt-1PXti2Xtk-2iki1Snikn1nEntn-k2Di1Xt-1DikXtk-2-1nEnt1Di1Xt-1PXti2Xtk-2iki115容易验证ftx1xkan满足条件4式则由定理1与15式知14式成立引理1[5]设XnnE0是具有分布3式的非齐次马氏链Sni如前定义设Ppji16为另一转移矩阵且假设P是不可约的如果对PjISiIS有limn1nEnt1ptji-pji01788成都信息工程学院学报第24卷则有limnSninPiae18其中PiiIS是P所确定的平稳分布引理2设XnnE0是具有分布3的非齐次马氏链i1i2ik是一定义在Sk上的k元状态序列设16式为另一转移矩阵如果对PjISiIS有17式成立则当k1时有limn1nEnt17k-1l1ptl-1il1il-pil1il019证由于1nEnt1pti2i1pt1i3i2ptk-2ikik-1-pi2i1pikik-11nEnt1pti2i1pt1i3i2ptk-3ik-1ik-2ptk-2ikik-1-pti2i1pt1i3i2ptk-3ik-1ik-2pikik-1pti2i1pt1i3i2ptk-3ik-1ik-2pikik-1-pti2i1pt1i3i2ptk-4ik-2ik-3pik-1ik-2pikik-1pti2i1pi3i2pikik-1-pi2i1pi3i2pikik-1F1nEnt1ptk-2ikik-1-pikik-11nEnt1ptk-3ik-1ik-2-pik-1ik-21nEnt1pti2i1-pi2i120由17式和20式可知19式成立证毕定理2设XnnE0是具有分布3的非齐次马氏链Sni1ikSnik如前定义设Ppji21为另一转移矩阵假设P是不可约的如果对PiISjIS有limn1nEnt1ptji-pji022则当k1时有limnSniknPi7k-1l1pil1ilae23其中PiiIS是P所确定的平稳分布证明由于1nEnt1Di1Xt-1PXti2Xtk-2iki1-1nEnt1Di1Xt-1pi2i1pikik-11nEnt1Di1Xt-1pti2i1pt1i3i2ptk-2ikik-1-1nEnt1Di1Xt-1pi2i1pikik-1F1nEnt1pti2i1pt1i3i2ptk-2ikik-1-pi2i1pikik-124由14式19式和24式并注意到12式有limnSnikn-Sninpi2i1pikik-1limn1nEnt1Di1Xt-1PXti2i1-1nEnt1Di1Xt-1pi2i1pikik-10ae25由18式和25式知23式显然成立证毕参考文献[1]施仁杰马尔可夫链基础及其应用[M]西安西安电子科技大学出版社1992[2]刘文杨卫国一类对可列非齐次马氏链普遍成立的强大数定律[J]科学通报199237161448-145189第1期刘杰等关于非齐次马氏链的强极限定理[3]HuangCCIsaacsonDLErgodicityusingMeanVisitTimes[J]JLondonMathSoc1976142570-576[4]王梓坤概率统计预报[M]北京科学出版社1978[5]刘文杨卫国关于非齐次马氏信源的渐进均分割性[J]应用概率统计1997134359-366[6]汪嘉冈现代概率论基础[M]上海复旦大学出版社2005StronglimittheoremsfornonhomogeneousMarkovchainsLIUJieJILing-junLIANGPe-ipeiFacultyofScienceJiangsuUniversityZhenjiang212013ChinaAbstractThestronglimittheoremsforthenonhomogeneousMarkovchainsarestudiedFirstlyalimittheoremfortheaverageofthefunctionofarbitrarykvariablesofthenonhomogeneousMarkovchainsisestablishedbythecon-vergencetheoremforthemartingaledifferencesequenceFinallyascorollariesaseriesofstronglimittheoremsforthefrequencyoftheoccurrenceofstateareobtainedKeywordsmartingaledifferencenonhomogeneousMarkovchainsstronglimittheorem90成都信息工程学院学报第24卷
