Kan扩张和因果凝聚理论
F.1 张量范畴的nerve定理
我们知道范畴有好几种定义方式，比如一个范畴可以作为范畴-monad的一个代数，也可以定义为满足Segal condition的单纯集（范畴的nerve定理ncatlab.org/nlab/show/Segal+condition）。同样的，张量范畴也有好一种定义，比如传统的定义，和作为张量范畴-monad的代数，即我们发现的粗粒化-monad的代数。除此之外，我们发现可把张量范畴定义为因果网络范畴（定义见后文）上的满足相应“Segal condition”的余预层（co-presheaf），此时因果网络范畴对于张量范畴的地位恰恰类似于单纯范畴（ \Delta ，simplical category）对于范畴的地位，我们称此结果为张量范畴的nerve定理（还未发表的工作）。这一模式可以推广到高阶范畴，其中单纯范畴，因果网络范畴及其Segal condition可以换成相应的pasting scheme范畴及其相应的Segal condition。
F.2 拓扑序的拓扑性和背景无关性
拓扑序最开始是在凝聚态领域发展出来的概念，按照其定义就是指低能有效理论为拓扑场论的序，因此拓扑序中的“拓扑”就是拓扑场论的拓扑，这是第一个层次的理解。但在弦网凝聚理论给出拓扑序的微观机制之后，拓扑序中的“拓扑”就是指长程纠缠模式的拓扑。现在，在我们关于张量范畴的图形演算和其粗粒化monad的工作之后，拓扑序中“拓扑”就可以理解为图形演算的拓扑性，这是第二个层次的理解。除此之外，我们认为拓扑序还应有一个更深层次的理解。
事实上，拓扑序并非一定要限制在凝聚态理论内才可讨论，因为在圈量子引力和我们关于张量范畴的研究中，粗粒化这一核心构造也自然地出现了，而且是以更一般，更基础地方式出现。所以，我们认为拓扑序中的“拓扑”还可以指量子引力理论所要求的背景无关关性，这是对拓扑序更深层次的理解。
F.3 背景无关的非微扰量子化和因果凝聚
在著名文章【34】中，John. C. Baez为背景无关的规范理论提出了一套优美的非微扰量子化方案，其特点不仅在于成功地引入了自旋网络作为量子化工具，而且还具有明显的范畴化和协变性特点。但是，Baez还没有把这种范畴性结构完全挖掘出来。经过一段时间的考察，我们认为Baez的非微扰量子化方案和弦网凝聚理论是对偶的，二者的关系类似于量子力学的拉格朗日图景和哈密尔顿图景的关系，更重要的是，我们发现Baez的工作具有和因子化同调（Factorization homology，【39】）平行的Kan扩张结构（见下图），正是这一结构刻画了Baez自旋网络量子化的背景无关性。
下面我们简要分析其结构：
（1）因果网络范畴Cau.Cat：其对象为有限因果网络(可以带有孤立点)，给定因果网络 \Gamma_1
和 \Gamma_2 ，它们之间的态射不是定向图的映射，而是它们自由生成的范畴 FC(\Gamma_1) 和 FC(\Gamma_2) 之间的函子，即 Mor(\Gamma_1,\Gamma_2)=Funct(FC(\Gamma_1),FC(\Gamma_2)) 。我们可以把因果网络 \Gamma 自由生成的范畴 FC(\Gamma) 称为因果范畴。因果网络之间的态射按定义就是其对应的因果范畴之间的函子, 该定义的好处就是可以把因果网络的粗粒化构造和minor关系都包含进来（注3）；对带有边界的开因果网络，可类似定义；
（2）流形范畴：其对象为光滑或拓扑流形（流形维数不限），态射为光滑或连续映射；
（3）无参道路范畴：其对象为流形中的点，态射为两点之间的无参数曲线，一系列事件的因果关联就表示为由无参数曲线构成的因果网络。
（4）普适因果凝聚： 利用以上三个结构，和张量范畴的Nerve定理，我们定义一个Kan扩张，这一定义完全平行于因子化同调。我们把这一框架称为普适因果凝聚，此处的普适性旨在强调其对于模型的无关性。这一定义的核心就是张量范畴的Nerve定理，其中的Segal condition等价于张量范畴的粗粒化代数的结构条件，也等价于拓扑序的重整化不动点条件。
注3：如果两个因果网络是粗粒化关系，那么这个关系可以表达成它们生成的因果范畴的函子；如果两个因果网络是minor关系（minor或拓扑minor均可），那么这个关系同样可以表达成它们生成的因果范畴间的函子。
注4：如果相似的考虑自旋网络的范畴和中枢范畴的nerve定理，可平行地得到普适弦网凝聚。在普适因果凝聚和普适弦网凝聚框架中，道路范畴化都指的是把流形的无参道路空间范畴化，这是一个标准的构造。
F.4 因果凝聚的意义：时间问题和向上平面性
背景无关性，时间问题和低能有效问题是量子引力框架首先要解决的三大基本理论难题。我们认为因果凝聚理论为解决这三个问题提供了一个合理的数学框架，理由如下：
（1）因果凝聚是比弦网凝聚更一般的数学构造，是自然的推广。如前所述，因果凝聚背后的数学框架就是张量范畴，因果网络，粗粒化和Kan扩张；而弦网凝聚背后的数学框架是中枢张量范畴（具有对偶性的张量范畴），自旋网络和粗粒化构造（现有的弦网凝聚构造都是基于线性张量范畴，而因果凝聚则没有限制）。至于Kan扩张，它则是隐藏在弦网凝聚背后的更底层构造，刻画了弦网凝聚和因果凝聚的背景无关性。
（2）弦网凝聚在量子规范理论的低能有效问题上比较成功，已经可以演生出经典规范场和费米子；圈量子引力在理解空间的量子结构方面也取得了很大的成功，其数学基础用到了群的表示理论（本质上也在张量范畴的研究范围内），和自旋网络的理论。特别地，著名的惠勒-德威特方程在三维情形可以代数地解释为粗粒化操作，在拓扑量子场论的态和构造中起关键作用。若不考虑动力学和时间问题，弦网凝聚和圈量子引力都比较成功。作为它们的推广，因果凝聚自然继承这些优势，因此量子引力低能有效理论的解决离不开因果凝聚的数学框架。
（3）因果凝聚和向上平面性联系密切，它为解决量子引力的时间问题提供了新思路。弦网凝聚和圈量子引力都不能解决引力的量子化问题，一个重要的原因就是人们不知道如何在量子层面上理解和描述因果性，并进而演生出经典的因果性（即广义相对论中的洛伦兹几何）。在此问题上，最有竞争性的方案就是因果集理论，它的动机是基于霍金和马拉门特等人的一个著名定理（简称霍马定理【47】），即时空的因果结构可以决定时空的拓扑，微分，共形结构甚至维数，该定理说明了因果结构的基本重要性，是相对论最底层的结构。这个定理给人们一个强烈的暗示，即解决时间问题应该从偏序结构或者因果结构入手，但因果集理论的方案并不令人满意，它不能包含足够的几何信息，难以导出比如角度，长度，面积等几何量（这恰是圈量子引力的优势），并且缺乏一个像弦网凝聚和圈量子引力那样演生几何的好框架。所以，我们建议应该从因果网络的角度来研究，并提出因果凝聚的思想，即量子时空是一个因果网络凝聚态（因果网络液体）。形象地，如果弦网凝聚可以理解为量子液体，那么因果凝聚则可以理解为一种量子流体，因果结构体现了一种流动性。这一理论可以自然地集中弦网凝聚，圈量子引力和因果集理论的优点，取长补短，为解决时间问题提供了新的思路。正如在圈量子引力中，自旋网络是空间的量子（黎曼几何的量子），在因果凝聚的框架下，因果网络可以看做是时空的量子（洛伦兹几何的量子），这是一种非常自然的物理思想。我们认为因果凝聚一定会超越圈量子引力和因果集理论，成为量子引力一个最有竞争力的候选理论。
（4）背景无关性在不同的层面上有不同的表现。在经典理论中，背景无关性一方面是广义相对性原理的要求，表现为理论作用量的微分同胚不变性，是对理论的数学形式的一个必要但非充分的约束（仅用微分同胚不变性并不能刻画相对论）；另一方面，背景无关性还体现在时空集合的非实在性，这是被空穴论证所揭示的事实，从而预示着相对论的关系实在性。
无质量粒子（或称类光粒子）的运动学完全反映在光锥结构中，从而也反映在与之等价的共形结构中，而霍马定理告诉我们共形结构和因果结构在洛伦兹几何的框架下是等价的，所以在相对论中类光粒子的运动学和动力学是不可区分的。更进一步的，从等效原理和爱因斯坦方程中，人们也可以看到不仅类光粒子，所有的物质都和时空几何一样，都具有运动学和动力学的不可区分性（至少局域上如此），即运动学，动力学的自由度与机制是不可区分，相互定义的。这是相对论的背景无关性的一个更深层次的表现。这就说明和有背景的理论不同，即使在经典的层次上，相对论的诠释理论和测量理论的也高度的非平凡。
在量子理论中，背景无关性是一个更深刻的问题。从圈量子理论中我们可以看到微分同胚不变性，拓扑同胚不变性对于广义相对论量子化的根本重要性，没有微分同胚不变性，拓扑同胚不变性就没有圈量子引力的成功（把对称性从微分同胚不变性扩展到拓扑同胚不变性，可得到态空间的维数的可数性）；而在Baez的自旋网络量子化方案中我们看到的是非微扰量子化对于微分同胚不变性，拓扑同胚不变性的独立性和相容性。
因果凝聚是对Baez的自旋网络量子化的成功推广，也是成功的形式化，公理化。我们认为在某个未知的适当框架下，因果凝聚可以刻画所有背景无关的量子测度。从这个意义上，我们认为弦网凝聚和因果凝聚的Kan扩张构造很好的刻画了量子理论的背景无关性。
F.5 因果凝聚的其他动机和幻想
统一弦网凝聚和Baez对于背景无关规范理论的自旋网络量子化方案是我们发展因果凝聚理论的主要动机，其中范畴的nerve定理，因子化同调给我们很大的启发。当然，这一动机出现在本人博士论文【20】的一个发现之后，即张量范畴monad有一个粗粒化描述，这一发现让我们意识到了弦网凝聚和圈量子引力背后可能存在一个统一的模式。
还有一个更早期的动机就是发展费曼范畴（Feynman category）理论，试图给出量子场论的严格数学定义。现在费曼范畴这一个术语已经被Kaufmann【40】使用，他的费曼范畴概念刻画了各类operad和PROP的普遍模式。和我们的因果凝聚相比，Kaufmann的费曼范畴构造还不完整，其构造相当于只考虑图的嵌入的情形，并不能包含粗粒化和minor关系，因此除了operad，PROP之外不能描述更一般的张量范畴。不过，费曼范畴的分类和我们的PI-张量范畴理论在精神上是类似的，PI张量范畴的分类可以归结为minor-closed的因果网络类的分类，也等价于因果网络范畴的特殊子范畴的分类。费曼范畴的核心性质也是一种Kan扩张，我们也可以借鉴过来刻画因果网络范畴的特殊子范畴，这是下一步的一个探索方向。
Baez的自旋网络量子化给出了构造背景无关量子测度的方法，但是并没有给出刻画量子无关测度的方法，也无法证明其方法的完备性，即证明所有背景无关量子测度都可以通过自旋网络量子化方法得到。导致这些困难的主要原因和Kaufmann的费曼范畴类似，主要在于Baez只考虑了图的拓扑嵌入（相比于图的嵌入，Baez允许边的重分subdivision），这种不足反映在因果网络范畴的框架内就相当于只考虑因果范畴的嵌入（faithful functor）。我们的因果网络范畴考虑的态射则是一般的，因此可以包含因果网络的粗粒化和minor关系，从而给出张量范畴的刻画，并进而可能给出背景无关量子测度的一个刻画。
现在因果凝聚已经是一个严格的数学框架（在后面国内外研究现状部分，我们将给出更多的技术细节），正如前面的分析，我们已经看出它对于量子引力的重要意义。对于解决背景无关性和时间问题，因果凝聚提供了一个看起来很自然的数学框架，有希望彻底解决这两个问题。但对于低能有效理论问题，即如何演生爱因斯坦场方程这个最棘手的问题，仍然缺乏一个有力的方案。下面对低能有效理论问题，我们专门从几个方面来讨论一下。
（1）有效理论问题，扭量弦理论和普适扭量凝聚
因果凝聚除了数学严格性，统一弦网凝聚和圈量子引力这两个潜力之外，还有一个未曾讨论的特点，即从世界面的角度，它有可能被理解为一种代数版本的弦理论。因果凝聚的框架不仅对于张量范畴，中枢张量范畴有效，对于它们的对称版本，即对称张量范畴和对称中枢范畴同样有效。
经典的弦理论都是从几何的角度看问题，因果凝聚则是从组合拓扑或代数的角度看问题（见下图）。在经典弦理论中，弦的世界面上承载的是洛伦兹几何的共形等价类；在因果凝聚情形，洛伦兹共形结构被替换成因果网络的向上平面性，即用因果网络的向上嵌入作为洛伦兹共形几何的一种离散化。我们认为弦的世界面和作为靶空间的洛伦兹流形可分别被替换为因果网络在曲面上的向上嵌入和（对称）张量范畴，即因果凝聚应该被看作一种组合或者代数版本的Sigma-模型（这一思想最早出现在本人的博士论文【20】中）；并且我们猜测由弦的世界面的面积给出的弦的经典作用量，则应该被替换为因果网络向上嵌入的某种复杂性量度（我们猜测是某种标量曲率）。
有效理论问题的核心就是演生爱因斯坦场方程。要想达到此目的，我们需要理解爱因斯坦场方程对于洛伦兹流形中的因果网络施加了什么影响（平行地，对于欧式相对论情形，需要理解欧式爱因斯坦场方程对于黎曼流形中的自旋网络施加了什么影响，注意这和圈量子引力中的惠勒-德威特方程的作用不同，我们想得到的是一种协变的作用，不是像3+1分解下的哈密顿力学框架中的作用）。爱因斯坦场方程的数学意义在于选取一类特殊的洛伦兹几何，自然地，对于爱因斯坦场方程在因果凝聚框架下的对应物，其意义应该在于选取一类特殊的张量范畴。
正如圈量子引力演生出空间几何，因果凝聚可以演生出洛伦兹几何，但是没有提供选择特殊的洛伦兹几何的方法。我们认为因果凝聚的本质是一种量子测度重整化（或者波函数重整化，量子历史重整化）框架，但这个框架是组合拓扑的（就像组合流形的帕赫纳移动，是一种弱的组合或拓扑约束），不是几何的。
为了演生爱因斯坦场方程，我们需要发展一个更有力的几何重整化框架，它是对因果凝聚的进一步加强，当然也和因果凝聚相容（正如爱因斯坦场方程和洛伦兹几何框架相容）。我们认为这种几何重整化框架是存在的，它和弦理论演生爱因斯坦场方程的思路有异曲同工之处（见下图），应该是联系几何结构和张量范畴结构的一般机制。
在经典弦理论的重整化框架下，爱因斯坦真空场方程可以作为重整化群流的Beta-方程的低阶近似来得到，这被很多人认为是广义相对论可以作为弦理论的低能有效理论的证据。虽然这一观点仍有些争议，但我们认为这仍然是一个值得借鉴的思路，当然其关键点就是向上嵌入复杂性量度和几何重整化框架的选择问题。如果这一思路真的有效，那么在因果凝聚框架下对有效理论的讨论就可以转化为对代数Sigma-模型有效理论的讨论，从而给出一个联系因果凝聚和爱因斯坦场方程的一般机制。
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一点说明：为了寻找前述的几何重整化框架，我们认为在从弦理论作用量得到真空爱因斯坦场方程的过程中，有几个可能有价值的启示需要注意。
其一，变分结构的重要性。弦理论有一个几何上自然的作用量，这是一个要点，一般的共形场论未必有作用量描述。我们猜测演生爱因斯坦场方程要借用朗道-金兹堡理论的思路，因为因果凝聚是一个背景无关的理论，因此代数弦理论背后的有效理论应该是一个背景无关的朗道-金兹堡理论。
其二，微分同胚不变性的重要性。微分同胚不变性又表现为世界面的重新参数化不变性，这是世界面上的一种背景无关性。在变分框架下，微分同胚不变性给出的守恒律，恰恰是弦世界面上能动张量的平凡性。在量子化之后，微分同胚给出的守恒律，即世界面上的能动张量约束，自动给出靶流形上的量子力学方程（可见【44】中1.3节），这是一个有趣的现象。
其三，通过重整化得到爱因斯坦场方程的这一过程启发我们思考引力的本质问题（详见后文对WEPS框架的分析），特别是时空度规的本质问题。在弦的作用量中，弦的张力是非局域化的一个常数，而度规场则是作为，世界面上的标量场的，一种局域化的非线性耦合强度场出现的。耦合强度的非线性化，局域化都不破坏无质量激发的存在性。
其四，并非所有和引力耦合的场的动力学都和度规有关，比如共形场（无质量场）和引力的耦合只与因果结构，共形结构有关，与度规无关。因此，并非在所有情况下，度规场都可以代表引力场。度规场只是在一些特殊情况下，即引力和非共形场（有质量场）的相互作用时，才表现为局域化的耦合强度场。和传统的看法不一样，我们认为度规场不能被看做具有独立自由度的动力学变量。比如爱因斯坦就认为度规场就是引力的规范势，是基本的几何量，也是基本的物理量；但我们不这样认为，我们认为因果结构是最基本的几何量，也是最基本的物理量。因为共形场的存在，说明引力场的普适性不能由度规场完全代表，它所代表的是引力场和非共形场的耦合强度场，当然仅仅对于所有的非共形场，度规具有普适性（这也是一个先验的假定）。总之，由于引力的普适性和度规场的普适性并不一样，二者在物理上也并不等价，在物理上把它们区分开来是重要的。
2003年，从散射振幅的角度，威腾【42】成功地把超对称纯规范理论解释为一种扭量空间中的弦理论（简称扭量弦理论 twistor-string theory）。我们猜测扭量理论和扭量弦理论有一种对偶性，即威腾的扭量弦理论可以看做是一种和规范/弦对偶相类似的构造。他的这一著名工作对于理解因果凝聚和弦理论的关系有很好的参考价值。
在我们看来，扭量理论是发展普适共形场论的一个合适框架。众所周知，扭量至少有三种定义【43】：第一种是 \alpha -平面，这种构造涉及洛伦兹流形的复化和实条件等问题，但也适用于欧式情形；第二种是共形旋量，它在弯曲空间上的推广还未知；第三种是局部扭量构造，它是一种共形微分几何理论（共形微分不变量理论），也是一种抛物几何（Parabolic geometry），其中扭量联络是特殊的拖拉联络（tractor connection）。
但我们认为除了这些经典的定义之外，还有一种更本质的定义，这是一种几何的定义，也是最接近彭罗斯扭量哲学的定义，即作为类光曲线的定义。在本文中，我们把扭量空间定义为类光曲线的模空间，并认为它是universal的共形不变量。这种定义下，扭量空间和局部扭量丛的关系就是整体和局部的关系，就像流形的无参道路空间和其切空间的关系一样。在这种观点下，所有的共形场（具有共形对称性的场，或外尔变换下不变的场）都是扭量场，即扭量空间上的场。正如威尔逊圈是规范场的普适非微扰坐标，扭量或类光曲线是共形场的普适非微扰坐标；圈坐标的定义是威尔逊圈积分，而扭量坐标的定义则是彭罗斯的围道积分（contour integral）。在背景无关规范理论中，特别是圈量子引力情形，由于微分同胚不变性，威尔逊圈坐标的冗余性被曼德斯坦姆约束所刻画（本质上等价于线性代数中的哈密尔顿-凯莱定理），该约束的代数独立解就是自旋网络。同样的，在共形场论中，我们相信扭量坐标也应该有一定的冗余性，也是被类似的扭量版本的曼德斯坦姆约束所刻画，其代数独立解就是扭量网络（twistor network）。正如背景无关规范场论的非微扰量子化方案是由Baez的自旋网络构造给出，共形场论的非微扰量子化方案应该是由一种扭量网络构造给出。在这种对比下产生的理论，我们称之为量子扭量理论（见下图），该理论的非平凡性来自于扭量空间的存在性，它为共形场提供了普适的非微扰坐标，就像威尔逊圈为规范场提供了非微扰坐标。如果能够说明所有的共形场都可以提升到局部扭量丛上去，并且所有的类时曲线都有水平提升，那么扭量坐标就可以完完全全地等同于威尔逊圈了。
正如背景无关规范场论的非微扰量子化催生了普适因果凝聚和普适弦网凝聚，作为共形场论的非微扰量子化框架，量子扭量理论的形式化表述则催生了普适扭量网络凝聚，或简称扭网凝聚，也可称为普适共形场论（见下图）。
不难看出，扭量弦理论和扭量凝聚的关系完全类似于弦理论和因果凝聚的关系，因此我们给扭量弦理论的起源一个新的机制性解释。
（2）量子引力基本问题和外尔-EPS框架
要想达到完整的量子引力理论，我们还有很长的路要走，前面还有一系列的难题要解决，比如质量和能量的起源问题，暗物质-暗能量问题，量子引力的动力学问题，时空的奇异性，甚至时空的维数问题等等。这些都是需要仔细推敲，定义的问题，并不是显然的数学和物理问题，但我们仍把它们称为量子引力基本问题。当然，除了上面提到的三个问题，量子力学的诠释问题，和前面讨论的量子引力的背景无关性，时间问题，低能有效问题等也都属于此类。
为了明确思路，我们先在在数学上做一个展望。在数学方面，量子引力理论的目标非常明确，就是提供一套形式框架来统一公理化量子力学和公理化广义相对论（见下图）。鉴于前面的分析，我们认为普适因果凝聚可以作为量子引力的一个候选的公理化框架。对于这个判断，最重要的依据就是，因果凝聚是一个直接建立在因果结构上的范畴学构造。数学上的稳健性和普适性是其真实性的最好支撑。当然要完全证实这个观点还有很多问题要解决，但至少它为我们提供了一个可以进一步思考的理论雏形。
量子力学的公理化有许多尝试，比如一些范畴化量子理论和基于量子信息的公理化理论。但不管怎么样，基于对时间问题和对因果结构的理解，我们认为量子力学公理应该是建立在因果结构和某种最优性的反事实推理框架上的，它可以定义什么是量子实在性，这种未知的框架我们称之为因果量子力学框架（补充一点，我们还看到很多苗头显示因果量子力学和强人工智能，深度机器学习有深刻的相关性，我们把这一探索方向称为因果革命）。
至于公理化广义相对论，我们认为不能选择经典的黎曼-爱因斯坦框架，而应该选择逻辑上更基本的外尔-EPS框架（Weyl-Ehlers-Pirani-Schild formalism）【35】作为初步的候选者。为了统一相对论和量子力学，需要把二者建立在更牢靠的，更基本的因果结构之上，而不是建立在洛伦兹几何之上。只有二者有了共同的数学基础，统一它们才是可能的。我们认为因果凝聚的存在性可以让我们相信上述方案的可行性。
外尔-EPS框架和彭罗斯的扭量框架相似（见下图），都是建立在因果结构上的几何框架，前者用外尔几何刻画因果结构，后者用扭量空间（我们定义为类光曲线模空间）刻画因果结构。它们都是无度规框架，都坚持这样一个事实的重要性，即所有的物质场可以分为两类，有质量场和无质量场，它们遵循完全不同的动力学规律（和引力的耦合规律）。这一划分对于我们理解质量-能量的起源，暗物质-暗能量问题，引力的本质和引力的能量问题都是基本重要的。
和彭罗斯一样，我们也认为无质量场和无质量粒子是基本的，质量是后来产生的，比如通过规范对称破缺（希格斯机制），或者外尔对称性破缺（共形反常）。无质量场和有质量粒子的关系就像舞台和演员的关系，这也应该是场论的基本观点。需要特别指出的是，在更有几何意味的扭量理论框架下，质量的产生表现为扭量结构的形变和相对上同调。
现在我们转移到物理方面。量子引力面临的一个首要物理问题就是引力的本质问题，它是理解一切量子引力基本问题的关键和出发点。对此问题，我们的答案是，引力的本质即因果结构。
引力的本质不是传统认为的时空度规，这是首先要强调的一点，也是最需要颠覆的一个认识。只有坚持这一点，我们才有可能把引力和量子力学统一起来。事实上，作为最成功的广义相对论的公理化框架，WEPS框架已经摆脱了时空度规的束缚，转而从更基本的因果结构和惯性结构来重构广义相对论。出人意料的结果是，WEPS框架的结论不是洛伦兹几何，而是更一般的外尔几何（和洛伦兹几何的关系见下图）。相比于洛伦兹几何，它不仅在物理上更自然，在逻辑上也更基本，被外尔称为纯粹无穷小几何。更重要的是，外尔几何的可约性----在物理上表现为第二时钟效应的平凡性，在几何上表现为与洛伦兹几何的等价性----在本质上可以由量子力学的可约性，即经典极限的存在性，来确定【46】。这些事实是我们选择WEPS框架作为量子引力和经典理论接口的一个重要依据。
为了更进一步地说明这个答案----引力即因果---的合理性，我们从几个角度来阐述。
首先，引力的本质问题是一个物理问题，也是一个哲学问题。回答它我们需要一个新的认识论的准则。我们选用普适性准则作为回答这个问题的依据。它是一种具有范畴学精神的准则，即确定一个物理对象的本质，关键要从它的普适性上考虑。显然，在所有的物理理论中，因果结构的普适性高于引力结构的普适性，因果结构是目前所有物理理论都遵守的原则，所以因果结构的普适性最高，这是第一个方面。
第二个方面，有质量的场和无质量的场（共形场）和引力耦合方式是不一样的：度规场是有质量场与引力的耦合强度场，是整体的，不是局域化的；无质量场和引力的耦合方式不体现在耦合强度上，也不是局域的。特别地，光子感受不到时间和度规，但是它存在于因果结构中，可以感受到引力场的强度（引力红移）。因此，度规场，作为一种局域化的耦合强度场，不是基本的物理场，其普适性远远弱于引力的普适性。因此，引力的本质不是度规场，度规场并不能完全代表引力。
第三个方面，仿射联络并不直接和其他的规范场发生相互作用，因此它的普适性低于度规场，更低于引力。特别地，惯性粒子感受不到仿射联络（引力的吸引作用），但仍然受到因果结构和引力场的束缚（比如和引力场产生能量的交换）。另外，从数学上来看，在WEPS框架下，仿射联络唯一存在性等价于共形结构和惯性结构的相容性。作为相容性条件，它并不能完全确定共形结构和惯性结构，从而也不能确定因果结构，更不能确定一个度规结构。
第四个方面，在经典理论中，引力和所有的场都有耦合，包括引力自身，因此引力具有最高的普适性。可以说，在经典理论中，引力结构和因果结构具有相同的普适性，且都是最高，于是我们可以把二者等同起来（见下图）。
第五个方面，在量子力学中，引力并没有表现。但是要统一量子力学和相对论就不仅需要把量子力学的基础从时空度规降低到因果结构上去，而且还要让引力有所表现。因此，不仅量子理论而且量子引力，都迫切需要提高引力的普适性，即把引力等同于因果结构。
所以，综合以上五个方面，把引力等同于因果就是唯一的选择。从上面的论述，我们也可以知道，应该把引力当作一种物理结构，不应该把它当作一种物理对象。这是一种对引力的升级的观点，就像从集合论转向范畴论。
其次，除了符合普适性准则之外，与引力即度规相比，引力即因果更加符合量子引力的演生原则和构造性原则。我们知道引力有很多种表象，如时空度规，仿射联络，规范场，旋量标架场，标量场等形式，也有很多不同的引力理论，如Jordan-Brans-Dicke引力理论，BF引力理论，等。根据我们前面提出的普适性准则，引力的本体论定义应该具有尽可能高的普适性，它的数学表示也应该选择尽可能基本的数学结构。如前面的论证，引力即因果符合普适性准则，也是唯一选择。数学上，因果结构的表示也是最简单的，而且根据霍金-马拉门特定理，因果结构也可以决定拓扑结构，微分结构，共形结构等基本结构，这也符合WEPS框架的构造性精神。如右图所示，我们可以进一步从共形结构演生出共形不变性，就像电磁理论，从而演生出光速不变性，然后利用WEPS的构造方法定义出外尔几何。如果加上和量子力学的相容性，我们可以进一步得到洛伦兹几何，从而完成从量子引力到经典几何的演生。
所以，综合两个方面可以知道，引力即因果不仅符合普适性准则，演生原则，构造性原则，而且也是唯一一个满足量子引力统一性要求的选择。
现在，我们讨论一下各个框架在整个量子引力系统中的内部关系。如下图所示，外尔-EPS框架和彭罗斯扭量框架都是以共形结构（无质量粒子）为基础的，它们和普适因果凝聚和普适扭量凝聚都有很好的相容性。由霍马定理，因果结构可以确定共形结构，因此从普适因果凝聚演生共形结构是完全可能的。相比较而言，彭罗斯扭量框架的结构性更强，更有利于描述共形场的动力学，从而更有利于讨论质量和能量的起源问题。而外尔-EPS框架的构造性更强，和黎曼-爱因斯坦框架的关系更加密切一些，且其联系具有明显的物理意义。要发展因果量子力学，一个可能的方案就是把它建立在扭量空间之上，很多迹象显示扭量理论对于解释量子力学的测量问题和诠释问题有很好的优势。外尔几何上的量子力学可以对外尔几何实行很强的约束，即量子力学的经典可约性可以保证外尔几何的可积性，因此演生黎曼-爱因斯坦框架需要二者的联合。
最后，我们强调一下外尔-EPS-框架的一个优势【45】，即有利于发展宇宙学，在其上建立各种扩展引力理论，有解决暗物质-暗能量问题的潜力。
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定理：张量范畴的范畴Mon.Cat和因果网络范畴Cau.Cat上满足Segal条件的余预层范畴自然等价。
其基本思路如下：任给一个张量范畴C，它都可以定义一个因果网络范畴余预层 \Omega 。 对于一个因果网络 \Gamma ， \Omega(\Gamma) 为 \Gamma 上的所有的POP-diagram（满足恒等约定和单位约定）。对于因果网络 \Gamma_1 和 \Gamma_2 之间的一个同态 f:\Gamma_1\rightarrow \Gamma_2 ， \Omega(f):\Omega(\Gamma_1)\rightarrow \Omega(\Gamma_2) 把 \Gamma_1上的每个POP-diagram映为 \Gamma_2 上的POP-diagram，其中恒等约定和单位约定保证 \Omega(f) 是良定的。 \Omega(f) 的存在性依赖于这样一个事实，即因果网络范畴中态射的分解规律和图形演算规则在本质上的等价性，如下图所示。显然，（B1）----（B6）的规则都是相容的，并且 \Omega(f) 保持POP-diagram的平面性。很容易看出，此构造同样适用于对于对称张量范畴，中枢范畴，自对偶范畴和球状范畴。
至于Segal条件，则是说一个因果网络上的数据可以由并且仅由它的单点集子图上的数据确定，这一点是和费曼范畴【40】的情形一样的。
反过来，给定因果网络范畴上的一个满足Segal条件的余预层，我们可以得到一个张量范畴。这些构造都是标准的。
=======================================================
Ø 参考文献:
【1】W.T. Trotter, Jr.: Order preserving embeddings of aographs. Theory and Applications of Graphs, (Proceedings of the International Conference, Western Michigan University, Kalamazoo), Lecture Notes in Mathematics, 642:572-579, 1976.
【2】I. Rival: Reading, drawing, and order. I. G. Rosenberg and G. Sabidussi (eds.) Algebras and orders, NATO ASI Series (Series C: Mathematical and Physical Sciences), Springer, Dordrecht, 389:359-404, 1993.
【3】A.Joyal and R.Street: The geometry of tensor calculus I. Adv. Math. 88(1): 55-112, 1991.
【4】X.Lu, Y.Ye, S.Hu: A graphical calculus for semi-groupal categories. Applied Categorical Structures，April 2019, Volume 27, Issue 2, pp 163-197, arXiv:1604.07276.
【5】X.Lu, Y.Ye: Combinatorial characterization of upward planarity. Communications in Mathematics and Statistics, June 2019, Volume 7, Issue 2, pp 207-223, arXiv:1608.07255.
【6】 L. Kauffman: Introduction to Virtual Knot Theory. arXiv:1101.0665; 或者参考nLab词条：virtual knot theory，ncatlab.org/nlab/show/virtual+knot+theory.
【7】T. Fleming, B. Mellor: An Introduction to Virtual Spatial Graph Theory. Proceedings of the International Workshop on Knot Theory for Scientific Objects, OCAMI Studies, Vol. 1 (A. Kawauchi, editor), Osaka Municipal Universities Press, 2007. arXiv:math/0608739.
【8】 G. Di Battista and R. Tamassia: Algorithms for plane representations of acyclic digraphs. Theoretical Computer Science, 61(2-3):175-198, 1988.
【9】 D. Kelly: Fundamentals of planar ordered sets. Discrete Mathematics, 63(2): 197 -216, 1987.
【10】 G. Bertolazzi, G. Di Battista: On upward drawings of triconnected digraphs. Proc. 7th Annu.ACM Sympos. Comput. Geom., 272-280, 1991.
【11】 G. Bertolazzi, G. Di Battista, G. Liotta, and C.Mannino: Upward drawings of triconnected digraphs. Algorithmica. 12:476–497, 1994.
【12】A. Garg and R. Tamassia: Upward planarity testing. Order. 12(2):109–133, 1995.
【13】H.de Fraysseix and P.O. de Mendez: Planarity and edge poset dimension. European Journal of Combinatorics, 17(8):731-740, 1996.
【14】C. Auer, C. Bachmaier, F.J. Brandenburg, A. Gleissner: Classification of plane upward embedding. M. van Kreveld, B. Speckmann (Eds.), GD 2011, Lecture Notes in Computer Science, Springer, 7034:415-426, 2012.
【15】P. Angelini, G. Da Lozzo, G. Di Battista, F. Frati, M. Patrignani, I. Rutter: Beyond Level Planarity. Proceedings of the 24th International Symposium on Graph Drawing and Network Visualization (GD 2016), arXiv:1510.08274.
【16】R. Penrose: Applications of negative dimensional tensors. In“Combinatorial Mathematics and its Applications,” (D. J. A. Welsh, Ed.), pp. 221-244, Academic Press, New York, 1971.
【17】 R. Penrose: Angular momentum: an approach to combinatorial spacetime, in T. Bastin (ed.), Quantum Theory and Beyond, Cambridge University Press, 1971, (this paper can be found online on John C. Baez's website ucr.edu/home/baez /penrose/ ).
【18】A.J. Power: A 2-categorical pasting theorem. Journal of algebra.129:439-445, 1990.
【19】 P. Selinger: A survey of graphical languages for monoidal categories. New structures for physics, Lecture Notes in Physics, Springer, 813:289-355, 2011.
【20】S.Hu, X.Lu, Y.Ye: Combinatorics and algebra of tensor calculus. arXiv:1501.01790. 未发表,其中对于monadic性质的讨论有问题,需要进一步研究.
【21】K. Kawarabayashi, B.Mohar: Some recent progress and applications in graph minor theory. Graphs and Combinatorics, 23 (1): 1-46, 2007.
【22】N. Reshetikhin, V. Turaev: Invariants of 3-manifolds via link polynomials and quantum groups. Invent. Math. 103 (3):547-597, 1991.
【23】A. Zorich: Flat surfaces. arXiv:math/0609392.
【24】D. Kelly and R. Rival: Planar lattices. Canadian Journal of Mathematics, 27: 636 -665, 1975.
【25】 B. Mohar and P. Rosenstiehl: A flow approach to upward drawings of toroidal maps. In: Graph Drawing (R. Tamassia and I. G. Tollis, Eds.), Lecture Notes in Computer Science, Springer-Verlag, New York, 894:33-39, 1995.
【26】B. Mohar: Straight-line representations of maps on the torus and other flat surfaces. Discrete Mathematics, 155:173-181, 1996.
【27】B. Mohar and P. Rosenstiehl:Tessellation and visibility representations of maps on the torus. Discrete & Computational Geometry, 19:249-263, 1998.
【28】 X.Lu: Planar order on vertex poset. Journal of university of science and technology
of china, November, 2018, Volume 48, Issue 11, pp 902-905, arXiv:1901.04142.
【29】D. Kelly: On the dimension of partially ordered sets. Discrete Mathematics, 35: 135-156, 1981.
【30】G. Kuperberg: What is a virtual link? Algebra & Geometric Topology, 3:587-591, 2003.
【31】M.A.Levin and X.G.Wen: String-net condensation:a physical mechanism for topological phases. Phys.Rev.B 71 (2005) 0405110, arXiv:cond-mat/0404617.
【32】G.Vidal: Entanglement renormalization: an introduction, chapter of the book “Understanding quantum phase transitions”, edited by Lincoln D.Carr (Taylor & Francis, Boca Raton 2010), arXiv:1210.1281.
【33】Seramika Ariwahjoedi, Jusak Sali Kosasih, Carlo Rovelli, Freddy P. Zen,: How many quanta are there in a quantum spacetime?, Classical and Quantum Gravity 32(16), April, 2014, arXiv:1404.1750.
【34】J.C. Baez: Spin Network States in Gauge Theory, Adv. Math.117 (1996) 253-272,
arXiv:gr-qc/9411007.
【35】J.Ehlers, F.A.E.Pirani, A.Schild: The Geometry of Free Fall and Light Propagation,
in General Relativity, ed. L.ORaifeartaigh (Clarendon, Oxford, 1972).
【36】A. Delpeuch, J. Vicary: Normalization for planar string diagrams and a quadratic equivalence algorithm, arXiv:1804.07832.
【37】G.Da Lozzo, G.Di Battista, F. Frati, M. Patrignani and V. Roselli: Upward Planar Morphs.In: T.Biedl, A.Kerren (eds), Graph Drawing and Network Visualization. GD 2018. Lecture Notes in Computer Science, vol 11282. Springer, Cham.
【38】P. Selinger: A survey of graphical languages for monoidal categories. New structures for physics, Lecture Notes in Physics, Springer, 813:289-355, 2011.
【39】David Ayala, John Francis: Factorization homology of topological manifolds, Journal of Topology 8(4), June 2012, arXiv:1206.5522.
【40】Ralph M. Kaufmann: Lectures on Feynman categories, . In: Wood D., de Gier J., Praeger C., Tao T. (eds) 2016 MATRIX Annals. MATRIX Book Series, vol 1. Springer, Cham, arXiv:1702.06843.
【41】Francois Metayer: Strict omega-categories are monadic over polygraphs, Theory and Applications of Categories, Vol. 31, 2016, No. 27, pp 799-806.
【42】 E.Witten: Perturbative Gauge Theory As A String Theory In Twistor Space, Communications in Mathematical Physics. 1. 252 (1): 189, 2003. arXiv:hep-th/0312171.
【43】M.Atiyah, M.Dunajski, and L.J. Mason: Twistor theory at fifty: from contour integrals to twistor strings". Proc. R. Soc. A. 473 (2206): 20170530, 2017.
【44】Green, M. B.; Schwarz, J. H.; Witten, E., Superstring Theory. Vol. 1: Introduction. Cambridge etc., Cambridge University Press 1987. X, 469 pp.,ISBN 0 521 32384 3 (Cambridge Monographs on Mathematical Physics).
【45】S. Capozziello, M. De Laurentis,L. Fatibene, M. Francaviglia: The physical foundations for the geometric structure of relativistic theories of gravitation. International Journal of Geometric Methods in Modern PhysicsVol. 09, No. 08, 1250072 (2012).
【46】J.Audretsch: Riemannian structure of space-time as a consequence of quantum mechanics. Phys. Rev. D (3) 27 (1983), no. 12, 2872–2884.
【47】 David B. Malament; The class of continuous timelike curves determines the topology of spacetime. Journal of Mathematical Physics. 18 (7): 1399–1404, July 1977.
